Суд обязывает ходатайствовать о проведении ДНК-экспертизы

Здравствуйте. Я подал иск на бывшую сожительницу на установление отцовства и порядка встреч в отношении нашего общего ребенка, дочери 6 лет. В качестве доказательств к иску приложил фотографии с ребенком, переписку с ответчицей в соц.сетях, где она называет меня отцом, чеки о переводах на её карту. Суд не принимает эти факты, мол, неубедительно, нужна экспертиза, но не сама судья её назначает, а говорит мне о ней ходатайствовать на следующем слушании. Сумма процедуры, увы, немаленькая, но я на неё готов, чтобы добиться своего. Вопрос: в какую организацию лучше обращаться, частную или государственную? Лицензии есть и у тех, и других, но в частных лабораториях цены на порядок ниже. И может ли ответчица впоследствии каким-то образом оспорить результат, если я в ходатайстве укажу частную клинику? Мол, подменяли результаты или ещё что-то. Мы оба знаем, что я отец ребенка и она этого не отрицает на словах, но в суде намеренно тянет резину. Город Москва. Спасибо.